МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

методы количественного анализа экономич. явлений и процессов, используемые для планирования нар. х-ва и управления произ-вом. Совр. экономика представляет собой сложную динамич. систему, эффективное управление к-рой возможно только с применением спец. математич. методов и вычислит. машин.
Существует два класса математич. задач в экономич. исследованиях и, соответственно, два класса математич. методов их анализа. Математич. методы первого класса применяются для построения и качественного анализа сложных макромоделей развития нар. х-ва и отрасли; схем прогноза поведения экономич. системы и учёта социально-экономич. факторов; произ-ва, потребления и обмена моделей ценообразования и технич. прогресса и т. д. Методы и модели первого класса определяются осн. положениями политич. экономич. к-рая оставляет в стороне конкретные технология, особенности произ-ва и сосредоточивает внимание на общих законах развития производств. отношений и их связи с развитием производит. сил. Математич. методы второго класса применяются для решения задач, с к-рымн в повседневной практике встречаются тысячи экономистов, работников плановых учреждений и проектных организаций. Это конкретные внутризаводские, отраслевые и нар.-хоз. задачи, в к-рых требуется составить конкретный план произ-ва, график использования ресурсов, схему перевозок, разнообразные балансы, изучить спрос на предметы потребления, собрать и обработать экономич. информацию, сравнить различные проекты по заданным критериям, дать им оценку, предсказать экономич. последствия тех или иных мероприятий. Методы, используемые для решения этих задач, обычно и называют экономико-математич. методами.
Наибольшее применение в экономич. исследованиях получают методы математической статистики. Эти методы используются в теории и практике планирования для организации сбора и обработки экономич. информации и для количественной оценки связей между экономич. явлениями. Статистич. методы позволяют извлечь из кажущейся хаотичности накапливаемой информации осн. тенденции и закономерности. Сущность статистич. методов состоит в том, чтобы по результатам ограниченного числа наблюдений выносить суждения о явлении в целом. Изучение динамики явлений, порождаемых воздействием большого числа факторов, основано на статистич. теории случайных процессов. Прогноз развития экономики должен учитывать закономерности таких случайных процессов, как колебания рождаемости и смертности, изменение во времени товарооборота и прибылей, колебания спроса и предложения и т. д. Объективный анализ экономич. явлений и производств. взаимосвязей требует не только изучения стохастич. связей во времени между значениями одного и того же процесса, но и анализа стохастич. связей между параметрами различных экономич. явлений и процессов. Раздел статистики, наз. корреляционным анализом, изучает изменение вероятностных характеристик одной случайной величины или процесса при изменении др. случайной величины или др. процесса. Корреляционный анализ позволяет проверять экономич. гипотезы о наличии и характере связей между различными случайными явлениями и процессами. Получение исходной информации для планирования и проверки различных методов управления зачастую требует постановки дорогостоящих экспериментов. Новый раздел статистики - метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) - разрабатывает и обосновывает пути моделирования статистич. эксперимента не в натуре, а на вычислит. машинах.
Планирование экономики и управление произ-вом проводятся, как правило, в условиях неполной информации. Раздел статистики, изучающий правила выбора решений в условиях неполной информации, наз. теории ей статистич. решений. Осн. задача этой теории - определить наилучшие в нек-ром заранее заданном смысле правила использования результатов наблюдений для выбора решения. Статистика является испытанным математич. инструментом экономич. науки.
Экономико-математич. методы часто объединяют под общим названием математич. методы исследования операций на произ-ве. Их осн. задача - разработка науч. методов анализа целеустремлённых действий и объективная сравнит. оценка решений конкретных технико-экономич. и орг. вопросов (см. Исследование операций). При внедрении результатов анализа в произнво необходимо учитывать, что математич. методы являются важной, но не исчерпывающей основой решения. Ответственный за решение должен учитывать и др. факторы (мораль, традиции, привычки, опыт, экспертные оценки), к-рые не поддаются формализации и количественной оценке.
К М. м. в э. и. относят след. разделы прикладной математики: математическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию расписаний, теорию управления запасами и теорию износа и замены оборудования. Математич. (или оптимальное) программирование разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных задач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления, планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления произ-вом. Задачи планирования экономики и управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум нек-рои функции (целевой функции или показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы. В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, в к-рых целевая функция - линейная. а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программирования. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к нелинейному программированию. Нелинейное программирование, в свою очередь, делится на выпуклое и невыпуклое программирование. В зависимости от того, являются ли исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами, в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации. Методы постановки и решения условных экстремальных задач, условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет стохастического программирован и я. Экстремальные задачи, связанные с использованием нек-рых стандартов (когда параметры управления по своему экономич. или физич. смыслу могут принимать лишь нек-рое число дискретных значений), решаются методами дискретного или целочисленного программирования. К целочисленному программированию сводится решение большого числа комбинаторных экстремальных задач размещения произ-ва, календарного планирования и др. (см. Комбинаторные методы).
Задачи математич. программирования делятся на задачи общего и спец. вида. Среди спец. задач в приложениях чаще других встречается т. н. транспортная задача - задача об оптимальной организации перевозок - и различные её модификации и обобщения. Методы, разработанные для решения задач трансп. типа, применяются также в системах СПУ (сетевого планирования и управления), обеспечивающих составление экономных текущих (оперативных) и перспективных планов в разных отраслях нар. х-ва. К математич. программированию относится теория двойственности, с по, мощью к-рой изучается связь между парами т. н. двойственных или сопряжённых задач характеризующих различные аспекты механизма оптимизации. Выводы теории двойственности позволяют сопоставить оптимальный план произ-ва с системой оценок производственных факторов. Теория двойственности математич. программирования тесно связана с теорией игр.
Теория игр - это раздел прикладной математики, с помощью к-рого устанавливают оптимальную (в том или ином смысле) стратегию поведения в конфликтных ситуациях. Под конфликтной подразумевается ситуация, в к-рой сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные (иногда противоположные) цели. Каждый из участников конфликтных ситуаций может оказывать нек-рое влияние на ход событий, но не имеет возможности полностью им управлять. Конфликтные ситуации возникают при решении различных экономич. проблем (отношения между производящими орг-циями и потребителями, торговля, экономич. соперничество и т. д.). Чтобы исследовать конфликтную ситуацию, строят её формализованную упрощённую модель, наз. игрой. Игры различаются по числу участников, по характеристикам т. н. платёжных функций, определяющих выигрыш каждого игрока в зависимости от его поведения и поведения остальных участников конфликта, по информации о сложившейся ситуации, к-рой располагают партнёры, по правилам, ограничивающим выбор линии поведения участников, по возможности заключения соглашений между ними и вступления в коалиции, по определению понятия «равновесия» или «справедливого решения игры». Теория игр устанавливает для различных классов конфликтных ситуаций оптимальные линии поведения участников - стратегии игроков, обеспечивающие равновесие в игре. Оптимальные стратегии игроков гарантируют каждому из них некоторый выигрыш, причём так, что отступление любого из участников от согласованной стратегии может только уменьшить его выигрыш.
В экономич. задачах, анализ к-рых сводится к математич. программированию или к теории игр, оценка эффективности варианта элементарна, однако количество вариантов столь велико, что выбрать оптимальный, как правило, крайне сложно. В теории массового обслуживания оценка эффективности варианта обычно сложная и трудоёмкая задача. Эта теория изучает статистич. закономерности в массовых операциях, состоящих из большого числа однородных элементарных операций. К ним относятся, напр., сборка однотипных деталей на конвейере, выдача инструментов, ремонт станков, работа телефонной станции, обслуживание покупателей в магазине и т. д. Синоним теории массового обслуживания - теория очередей. В системах массового обслуживания, в к-рых заявки на элементарные операции приходят в случайные моменты времени или обслуживаются в течение случайных промежутков времени, появление очередей - неизбежное зло. При большом числе каналов обслуживания (ремонтных бригад, продавцов, телефонисток и т. д.) система терпит ущерб из-за возможных длит. простоев каналов. При малом числе каналов обслуживания ущерб системе причиняют накапливающиеся очереди. Задача теории массового обслуживания - изучить статистич. закономерности входящего потока заявок на элементарные операции и длительность обслуживания заявок, а также дать оценку качества систем обслуживания (выяснить пропускную способность) при различных правилах формирования очередей.
Математич. методы, позволяющие упорядочить во времени использование фиксированной системы машин с известными характеристиками для обработки нек-рого множества изделий, составляют предмет т. н. теории расписаний. Критериями качества расписания могут быть: суммарное время простоя всех машин, суммарные издержки на обработку серии изделий, число комплектов изделий, обработанных в заданное время, и др. При решении задач теории расписаний применяются самые разнообразные методы - от динамич. программирования и комбинаторного анализа до статистич. моделирования и эвристич. приёмов.
В экономич. исследованиях часто используют теорию управления запасами (теорию планирования запасов). Запас - это определённый ресурс, на который в силу его экономич. ценности имеется спрос. Спрос удовлетворяется выдачами со склада, а запас пополняется поступлениями. Интенсивность выдачи и пополнения - важнейшие характеристики эффективности планирования запасов. В теории управления запасами разрабатываются методы вычисления уровня произ-ва или заготовок, обеспечивающего наиболее экономным путём удовлетворение будущего, не всегда определённого спроса. Анализ моделей управления запасами сводится к определению последовательности процедур снабжения и пополнения запасов, при к-рой обеспечиваются минимальные суммарные затраты, связанные с заготовками и хранением продукта и убытками из-за неудовлетворенного спроса.
Задачи теории управления запасами классифицируются по структурным, временным и информационным признакам. Системы сосредоточения запасов изучаются как сети параллельных или последовательных складов, управляемых автономно или централизованно. Рассматриваются статистич. и динамич. модели управления запасами, случаи стационарного и нестационарного поступления заказов. Учитывается влияние запаздывания поставок на эффективность управления. В зависимости от характера спроса планирование запасов рассматривается как детерминированная или вероятностная задача. Изучаются случаи, когда спрос можно предвидеть с определённой степенью достоверности или когда он случаен, но статистически стабилен, и случаи сезонного спроса.
К М. м. в э. и. относят теорию износа и замены оборудования, изучающую закономерности изменения состояния оборудования, его ценности и затрат на поддержание работоспособности. Теория износа разрабатывает, кроме того, методы установления рациональных графиков ремонта и замены оборудования. При планировании работы предприятия необходимо учитывать статистич. характеристики живучести оборудования. Такой учёт позволяет заранее предусмотреть количество обновляемого оборудования, порядок профилактич. работ и сроки, в к-рые следует производить замену станков и инструмента. Осы. задачи теории износа и замены оборудования: выбрать наиболее эффективное при заданных условиях оборудование, обеспечивающее выполнение производств. плана, определить рациональный момент замены оборудования из-за физич. или морального износа, составить графики профилактики и ремонта; оценить качество продукции по допустимым условиям её использования, по сроку службы, по затратам на эксплуатацию и на ремонт и др.