Максимум

(maximum) Наивысшее значение функции, которое она принимает при любом значении ее аргументов. Максимум может быть локальным или абсолютным. Например, функция у=1–х2 имеет абсолютный максимум у=1 при х=0; не существует другого значения х, которое дает более высокое значение у. Необходимым условием для локального максимума функции у=f(x) является равенство dy/dx=0. При условии, что dy/dx=0, достаточным, но не необходимым условием для локального максимума является d2y/dx2<0. Рассмотрим, например, функцию z=х3–3х. Она имеет максимум z=2 при х=–1, но это лишь локальный максимум, т. е. z больше для x=–1, чем для соседних значений х. Достаточно большие положительные величины х могут вызвать рост z до бесконечности, поэтому z не имеет абсолютного максимума. Максимум ряда xi, i=1, 2, ..., N, записанный в виде arg maxx1, х2... хN является самым крупным значением любого хi. Горизонтальная ось показывает значение х; вертикальная ось показывает у=f(x). Рис. 21: Максимумы и минимумы На графике 1 у=1+2х-х2; dy/dx=2-2x, поэтому dy/dx=0 при х=1. d2y/dx2=-2, поэтому это абсолютный максимум. На графике 2 у=1-2х+х2; dy/dx=-2+2х, поэтому dy/dx=0 при х=1. d2y/dx2=2, поэтому это абсолютный минимум. На графике 3 у=1+х-2x2+х3; dy/dx=1-4х+3х2, поэтому dy/dx=0 при х=1 и х=1/3. d2y/dx2=-4+6х, следовательно при х=1 (d2y/dx2=2, поэтому это локальный минимум; но при х=1/3, d2y/dx2=-2, поэтому это локальный максимум.